两个案例都是发生在教学中的真实故事，既让我们看到图形计算器对教师教、学生学的有力支持，也让我们感到要让学生进行高水平的思维活动并非易事．按机器前先想一想，面对的数学问题是什么，猜想一下结果会怎样，估计一下走势或图象，操作中多动脑筋，切忌一按了之，对图象、数据的反思尤为重要，它既是验证一个问题的结束，更是另外一系列问题的开始，“想、作、思”应成为学习数学的一种习惯．
（二）探索图象变换的规律
在缺乏技术支持的环境中高一学生学习函数这一内容时，往往把函数的三种表示方法：解析法、列表法、图象法不能有效联系在一起用于解决问题，特别由数思形的能力更显不足．如何帮助学生更好地建立这种多元联系表示呢？笔者曾做过这样一个尝试：
根据的图象(图1)，探索及的图象变换规律．
按传统教法，这一内容一般是在高三复习教学时讲授，并且是直接告诉学生变换规律，还总结出口诀让学生记住：
由图象“保上方，下翻上”得的图象(图2)；
由图象“保右方，擦左方，右翻左”得的图象(图3)．
由于结论是教师硬塞给学生的，学生往往不能很好地理解与掌握，运用时出错率高．
现在引入技术后，学生可以运用图形计算器，直接画出及的图象，再与图象进行比较：
学生觉得很有趣，惊奇于这一“麦当劳”式的图象；同时，通过列表发现自变量与因变量间的取值关系．这时，有的学生又输入了其它一些解析式进行探索．通过观察、比较，似乎发现了一些规律，只是缺乏概括总结．此时，教师不失时机提出：如果不用图形计算器，已知分别作出及的图象，并与的图象进行比较，总结变换规律．
这一猜想过程必须让学生经历，并且留充分的时间让学生去想去猜，通过互相交流，引起争论后，再让学生用图形计算器验证猜想是否正确．
通过一看二猜三验证的过程，发现了图象变换的规律，并对函数的三种表示方法的优缺点作了总结，这实际上让学生经历了观察、实验、猜想、验证、得出结论等这一探索规律的全过程．这说明图形计算器只要使用得当，是可以帮助学生学习的．
（三）探究两图象交点问题
学习完反函数概念和性质后，教师给出问题：
利用图形计算器，在直角坐标系中先作出函数的图象(图4)，然后作出函数y=b的图象，通过改变b的值，上下移动函数y=b的图象(图5)，观察它与函数的图象的交点个数，并加以论证．
拿到问题后，学生用图形计算器画出了的图象(图4)，并利用轨迹追踪功能得到：当x=1时，ymax=1；x=－1时，ymin=－1，由此观察到：
b=±1时，与y=b有一个交点；
当-1<b<1时，与y=b有两个交点；
当b<-1或b>1时，与y=b没有交点．
学生对b=0没有考虑到，这时，教师是把结论直接告诉学生，还是让学生自己去发现问题呢？
教师接下来从方程的角度去引导学生思考问题：
与y=0.5图象有两个交点(x1，0．5)，(x2，0．5)，从方程的角度看，x1 ，x2应是哪个方程的两根？讨论与y=0．5的交点问题实质上是讨论哪个方程根的情况？
通过引导，学生得出如下结论：
与y=b联立消去y得，则 bx2-2x+b=0，
若x1 ，x2是方程的两根，则(x1 ，b)，(x2 ，b)就是与y=b两图象交点．
若D=0，则b=±1，方程有两个相等的实数根；
若D>0，则-1<b<1,方程有两个不相等的实数根；
若D<0，则b<-1或b>1,方程没有实数根．
同学们发现，这个结论与刚才观察图象得出的结论是一样的，说明两函数图象交点问题可以用方程根的问题来刻画，从而让学生在动手实践、观察思考中体会了数形结合的思想．
此时，教师再提醒学生思考，以上推理有无疏漏？观察图象，检查有一个交点时，b的取值范围究竟是什么？
这时，有学生发现b=0时，两图象只有一个交点．从方程角度又如何理解呢？
对于方程bx2-2x+b=0，当b=0时，为一次方程，有一个根．因此,结论应修正为：
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